최소 자승 문제(Least Squares Problem)는 주어진 데이터와 모델 간의 차이를 최소화하는 모델 매개변수를 찾는 문제입니다. 이 문제는 데이터 포인트와 선형 모델 간의 잔차(Residuals)를 최소화하는 모델 파라미터를 찾는 데 자주 사용됩니다. 아래 예제에서는 최소 자승 문제를 다루고, NumPy와 SciPy를 사용하여 선형 회귀 문제를 해결하는 방법을 보여줍니다.

고려할 선형 회귀 문제는 다음과 같습니다.

데이터 포인트: (1, 2), (2, 3), (3, 3.5), (4, 5)

선형 모델: �=��+�y=ax+b

이제 Python 코드를 사용하여 이 최소 자승 문제를 해결해 봅시다.

mport numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

# 데이터 포인트
x_data = np.array([1, 2, 3, 4])
y_data = np.array([2, 3, 3.5, 5])

# 초기 추정값 설정
initial_guess = [1.0, 1.0]  # a와 b의 초기 추정값

# 최소 자승 문제 정의
def model(params, x):
    a, b = params
    return a * x + b

def residuals(params, x, y):
    return y - model(params, x)

# least_squares를 사용하여 최소 자승 문제 해결
result = least_squares(residuals, initial_guess, args=(x_data, y_data))

# 결과 출력
a_opt, b_opt = result.x
print("최적의 a:", a_opt)
print("최적의 b:", b_opt)

위의 코드에서는 다음을 수행합니다:

1. NumPy 배열로 데이터 포인트를 정의합니다.

2. 초기 추정값 initial_guess를 설정합니다. 이 값은 선형 모델의 파라미터 a와 b의 초기 추정값입니다.

3. 모델 함수 model을 정의하여 주어진 파라미터 a와 b를 사용하여 예측값을 생성합니다.

4. 잔차 함수 residuals를 정의하여 주어진 파라미터 a와 b로 계산된 모델 예측값과 실제 데이터 포인트 간의 잔차를 계산합니다.

5. SciPy의 least_squares 함수를 사용하여 최소 자승 문제를 해결합니다. 이 함수는 초기 추정값과 잔차 함수를 입력으로 받아 최적의 파라미터를 반환합니다.

6. 결과를 출력하여 최적의 a와 b 값을 확인합니다.

최적의 a와 b 값은 주어진 데이터 포인트에 가장 적합한 선형 모델의 파라미터를 나타냅니다. 이 방법을 사용하면 데이터에 가장 잘 맞는 선형 모델을 찾을 수 있습니다.