파이썬으로 선형 프로그래밍과 브랜치-앤-바운드 알고리즘 구현하기

14 Nov 2023

python

선형 프로그래밍은 수학의 한 분야로서, 제한 조건을 만족하는 선형 함수의 최적값을 찾는 문제를 다룹니다. 이러한 문제를 파이썬으로 구현해보겠습니다. 또한, 브랜치-앤-바운드 알고리즘은 조건을 분할하고 최적해를 찾는 탐색 기법입니다. 이 알고리즘에 대해서도 파이썬으로 구현하겠습니다.

선형 프로그래밍 구현하기

선형 프로그래밍 문제를 파이썬으로 구현하기 위해서는 scipy 라이브러리의 linprog 함수를 사용할 수 있습니다.

먼저, 필요한 패키지를 import합니다.

import scipy.optimize as opt

다음으로, 선형 프로그래밍 문제의 목적 함수와 제한 조건을 정의합니다.

c = [-1, -2]  # 목적 함수의 계수
A = [[1, 1], [-1, 2], [3, 1]]  # 제한 조건의 계수
b = [4, 2, 6]  # 제한 조건의 우변값

이제, linprog 함수를 사용하여 최적해를 구합니다.

res = opt.linprog(c, A_ub=A, b_ub=b)
print(res)

위의 예제에서는 목적 함수의 계수가 [-1, -2]이고, 제한 조건의 계수가 [[1, 1], [-1, 2], [3, 1]]이며, 제한 조건의 우변값이 [4, 2, 6]인 선형 프로그래밍 문제를 풀고 있습니다. linprog 함수의 결과를 출력하면 최적해를 확인할 수 있습니다.

브랜치-앤-바운드 알고리즘 구현하기

브랜치-앤-바운드 알고리즘은 재귀적으로 최적해를 찾는 탐색 알고리즘입니다. 파이썬으로 브랜치-앤-바운드 알고리즘을 구현해보겠습니다.

먼저, 필요한 패키지를 import합니다.

import numpy as np

다음으로, 탐색할 문제의 상태를 정의합니다.

problem = {
    'objective': np.array([4, 2]),  # 목적 함수의 계수
    'constraints': [
        {'coefficients': np.array([1, 1]), 'rhs': 4},  # 제한 조건의 계수와 우변값
        {'coefficients': np.array([-1, 2]), 'rhs': 2},
        {'coefficients': np.array([3, 1]), 'rhs': 6}
    ],
    'bounds': [(0, None), (0, None)]  # 변수의 범위
}

이제, 브랜치-앤-바운드 알고리즘을 구현해보겠습니다.

def branch_and_bound(problem):
    # 기저 사례: 문제가 더 이상 분할할 수 없는 경우
    if len(problem['bounds']) == 0:
        return problem['objective']
    
    # 현재 문제의 변수 범위를 가져옴
    lower_bound, upper_bound = problem['bounds'].pop(0)
    
    # 브랜치: 변수의 범위를 절반으로 나누어 재귀 호출
    branch1 = problem.copy()
    branch1['bounds'] = problem['bounds'][:]
    branch1['bounds'].insert(0, (lower_bound, (lower_bound + upper_bound) / 2))
    solution1 = branch_and_bound(branch1)
    
    branch2 = problem.copy()
    branch2['bounds'] = problem['bounds'][:]
    branch2['bounds'].insert(0, ((lower_bound + upper_bound) / 2, upper_bound))
    solution2 = branch_and_bound(branch2)
    
    # 바운드: 재귀 호출 결과를 바탕으로 탐색할 후보해 선택
    if solution1 < solution2:
        return solution1
    else:
        return solution2

# 브랜치-앤-바운드 알고리즘 실행
solution = branch_and_bound(problem)
print(solution)

위의 예제에서는 목적 함수의 계수가 [4, 2]이고, 제한 조건들이 {'coefficients': np.array([1, 1]), 'rhs': 4}와 같이 나타내어지는 브랜치-앤-바운드 알고리즘을 구현하고 있습니다. 알고리즘의 결과를 출력하면 최적해를 확인할 수 있습니다.

위의 예제를 참고하여 선형 프로그래밍과 브랜치-앤-바운드 알고리즘을 파이썬으로 구현해보세요!