[python] SciPy를 사용하여 푸아송 방정식 수치 해석하기

23 Nov 2023

python

푸아송 방정식은 다양한 과학 및 공학 분야에서 중요한 역할을 하는 편미분 방정식입니다. 이 방정식은 두 번 연속 미분 가능한 함수의 두 번째 미분을 포함하고 있습니다.

SciPy는 파이썬의 과학 및 수학 연산을 위한 강력한 라이브러리입니다. 이러한 라이브러리들을 사용하여 푸아송 방정식의 수치 해석을 수행할 수 있습니다.

SciPy 설치하기

먼저, SciPy를 설치해야 합니다. 아래의 명령어를 사용하여 SciPy를 설치할 수 있습니다.

pip install scipy

푸아송 방정식 모델링하기

푸아송 방정식을 모델링하기 위해 다음의 기본적인 방정식을 사용합니다.

∇^2 u = f

여기서 u는 푸아송 방정식의 해이며, ∇^2는 라플라스 연산자, f는 주어진 함수입니다.

예제 코드

아래의 예제 코드는 SciPy를 사용하여 푸아송 방정식을 수치적으로 해석하는 방법을 보여줍니다.

import numpy as np
from scipy.sparse import diags
from scipy.sparse.linalg import spsolve

def solve_poisson_equation(n, f):
    h = 1 / (n + 1)  # 그리드 간격
    x = np.linspace(0, 1, n + 2)  # 그리드 포인트

    # 행렬 A와 벡터 b 생성
    main_diag = np.ones(n) * -2 / h**2
    off_diag = np.ones(n - 1) / h**2
    A = diags([main_diag, off_diag, off_diag], [0, -1, 1], shape=(n, n))
    b = f(x[1:-1])

    # 푸아송 방정식 풀기
    u = np.zeros(n + 2)
    u[1:-1] = spsolve(A, b)

    return u

# 푸아송 방정식의 오른쪽 항 f(x) 정의하기
def f(x):
    return -np.sin(np.pi * x)

# 예제 실행하기
n = 100  # 그리드 크기
u = solve_poisson_equation(n, f)

결과 확인하기

해석 결과를 시각화하여 확인할 수 있습니다. 예를 들어, Matplotlib을 사용하여 푸아송 방정식의 해석 결과를 그래프로 표시할 수 있습니다.

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 1, n + 2)
plt.plot(x, u)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('u')
plt.title('Solution of the Poisson Equation')
plt.show()

결론

이 예제에서는 SciPy를 사용하여 푸아송 방정식의 수치 해석을 수행하는 방법을 살펴보았습니다. SciPy의 다양한 기능을 활용하면 다양한 과학 및 공학 분야에서 발생하는 다양한 수치적 문제를 해결할 수 있습니다. 자세한 내용은 SciPy 공식 문서를 참조하시기 바랍니다.

참고 자료

SciPy 공식 문서: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/
Matplotlib 공식 문서: https://matplotlib.org/stable/contents.html