분할 정복(Divide and Conquer)은 컴퓨터 과학에서 많이 사용되는 알고리즘 패러다임입니다. 이 패러다임은 큰 문제를 작은 하위 문제로 나누고 각각의 하위 문제를 해결하여 전체 문제를 해결하는 방법입니다. 분할 정복 알고리즘은 재귀적인 방식으로 작동하며, 문제의 크기가 충분히 작아질 때까지 문제를 분할하는 단계와, 분할된 하위 문제를 해결하여 결과를 결합하는 단계로 이루어져 있습니다.

분할 정복 알고리즘의 점화식

분할 정복 알고리즘을 수학적으로 표현하기 위해 점화식(Recurrence Relation)을 사용합니다. 점화식은 하위 문제와 전체 문제 사이의 관계를 나타내는 식으로, 재귀적인 구조를 표현할 수 있습니다.

분할 정복 알고리즘의 점화식은 일반적으로 다음과 같은 형태를 가집니다:

T(n) = a * T(n/b) + f(n)

여기서 n은 문제의 크기, a는 하위 문제의 개수, b는 문제의 크기를 줄이는 비율, f(n)은 분할되지 않은 문제를 해결하기 위해 필요한 추가 연산입니다.

분할 정복 알고리즘 요소

분할 정복 알고리즘은 다음의 세 가지 요소로 이루어져 있습니다:

1. 분할(Divide): 주어진 문제를 작은 하위 문제로 분할합니다. 일반적으로 문제를 반으로 나누는 방식을 사용합니다. 이 단계에서 재귀적으로 문제를 작은 문제로 계속 분할합니다.

2. 정복(Conquer): 분할된 각각의 하위 문제를 해결합니다. 이 단계에서 재귀적으로 하위 문제를 해결하여 결과를 얻습니다.

3. 결합(Combine): 분할된 하위 문제의 해답을 결합하여 전체 문제의 해답을 얻습니다. 이 단계에서는 각각의 하위 문제의 결과를 조합하는 방식을 사용합니다.

예시 코드

아래는 분할 정복 알고리즘을 사용하여 배열의 합을 계산하는 예시 코드입니다. 이 코드는 Python으로 작성되었습니다.

def array_sum(arr):
    # 기저 조건: 빈 배열이거나 배열의 길이가 1인 경우, 해당 요소를 반환
    if len(arr) == 0:
        return 0
    elif len(arr) == 1:
        return arr[0]
    
    # 배열을 반으로 나누어 분할
    mid = len(arr) // 2
    left = arr[:mid]
    right = arr[mid:]
    
    # 분할된 하위 문제를 해결하여 결과를 얻음
    left_sum = array_sum(left)
    right_sum = array_sum(right)
    
    # 분할된 하위 문제의 결과를 결합하여 전체 문제의 해답을 얻음
    return left_sum + right_sum

위의 코드는 배열을 반으로 나누어 분할하고, 각각의 하위 문제를 재귀적으로 해결하여 결과를 얻습니다. 마지막으로 이러한 결과를 결합하여 전체 배열의 합을 얻습니다.

참고 자료

• Wikipedia - 분할 정복